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Analisi di Fourier

 

• Introduzione

• Basi ortonormali dello spazio delle funzioni

• Serie di Fourier

• Trasformata di Fourier

• Trasformata discreta di Fourier

 

Introduzione

In campo ingegneristico è fondamentale studiare i segnali associati alle grandezze fisiche di interesse. Tuttavia lo studio si rivela alquanto complesso vista la varietà dei segnali e dei sistemi coinvolti.

Il problema di capire cosa succede può essere affrontato sotto vari punti di vista, per ognuno dei quali sono stati ideati strumenti matematici opportuni.

Consideriamo il caso in cui si voglia descrivere matematicamente un segnale. Potremmo sforzarci di volta in volta ad ideare nuove espressioni matematiche, ma ci troveremmo ben presto in difficoltà. Inoltre una espressione matematica fantasiosa potrebbe non essere lo strumento migliore per poi eseguire delle elaborazioni.

Ecco allora le idee geniali.

La prima idea geniale è la seguente.

E' molto difficile descrivere un sistema naturale in termini matematici semplici. Però, entro certi limiti tutto sommato accettabili, possiamo applicare delle semplificazioni. Supponiamo quindi che i sistemi che andiamo a considerare siano LINEARI. In natura non c'è niente di lineare, ma visto che si ottengono comunque risultati abbastanza attendibili, questa si rivela una semplificazione accettabile. Tanto poi andremo a sistemare in qualche modo il prodotto del  nostro lavoro per adattarlo a tutte quelle non linearità che, sotto determinate condizioni, abbiamo trascurato.

Questa ipotesi semplificativa è fondamentale e incredibilmente potente perchè ci porta alla seconda idea geniale.

Se i sistemi che consideriamo sono lineari, allora possiamo descrivere i segnali che ci interessano in termini di altri segnali più semplici e facili (matematicamente) da manipolare.

Anzichè studiare un segnale nel suo complesso posso studiarne le componenti "semplici" e come queste influiscono su un sistema. Gli studi sulle singole componenti possono poi essere ricomposti ottenendo l'equivalente dello studio sul segnale originale.

 

Basi ortonormali dello spazio delle funzioni

Descrivere un segnale in termini di altri segnali matematicamente più semplici richiede la formulazione di ipotesi semplificative che possono apparire un po' forzate. Tuttavia nei casi pratici si sono rivelate utilizzabili.

Il primo quesito che ci si pone è che cosa si intenda per segnale matematicamente semplice.

Possiamo considerare matematicamente semplice un segnale descrivibile da una funzione matematica di base, una di quelle su cui tutta l'analisi è stata costruita. Queste funzioni sono ben note e godono di particolari proprietà.

Ma quali sono le funzioni più adatte al nostro problema? Che tipo di segnali andiamo a considerare?

I nostri segnali hanno caratteristiche particolari.

Ad esempio sono limitati nel tempo. Abbiamo a disposizione segnali definiti in un intervallo temporale.

Sono limitati in ampiezza. In natura non esistono grandezze di valore infinito.

Sono continui (e anche qualcosa di più). In natura non ci sono variazioni istantanee nei valori.

In natura poi troviamo molto spesso andamenti periodici delle grandezze.

Andiamo quindi a cercare segnali che derivano direttamente da fenomeni naturali.

Quali funzioni descrivono il più semplice moto infinito in uno spazio limitato? Le funzioni sinusoidali.

Bene, si dimostra che i segnali che ci interessa studiare si possono descrivere abbastanza bene come una somma di funzioni sinusoidali (più, eventualmente, una costante).

Per far tornare i conti matematicamente, si costruisce uno spazio di funzioni che abbia una struttura di spazio vettoriale. In questo modo si possono applicare ai segnali tutti i concetti dell'algebra lineare. In particolare si definisce una operazione di prodotto interno, che nel caso dei segnali assume questa forma:

$$⟨\mathrm{u}\mathrm{,}\mathrm{v}⟩=\underset{\mathrm{I}}{\int }\mathrm{u}(\mathrm{x})\overline{\mathrm{v}(\mathrm{x})}\mathrm{dx}$$

Infine si sceglie una base ortonormale (ortogonale a norma unitaria) di funzioni e il gioco è fatto.

 

Serie di Fourier

Visto che parliamo di segnali limitati nel tempo e funzioni sinusoidali, torna comodo introdurre le formule relativamente all'intervallo $[-\pi \mathrm{;}\pi ]$ . Tanto poi possiamo riferirci ad un qualsiasi intervallo con opportune traslazioni e cambi di scala della variabile indipendente.

Ecco quindi una base ortonormale per le funzione definite nell'intervallo $[-\pi \mathrm{;}\pi ]$ :

 

$${\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{,}\frac{\cos (\mathrm{nx})}{\sqrt{\pi }}\mathrm{,}\frac{\mathrm{sen}(\mathrm{nx})}{\sqrt{\pi }}\right\}}_{\mathrm{n}\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{\text{+}}}$$

 

Questo vuol dire che tutti i segnali (le funzioni) si potranno scrivere come una somma pesata di tali componenti elementari.

Un segnale descritto dalla funzione $\mathrm{f}(\mathrm{x})$  si può descrivere tramite la serie di Fourier:

 

$$\mathrm{f}(\mathrm{x})={\mathrm{a}}_0+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\cos (\mathrm{n}\mathrm{x})+{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{sen}(\mathrm{n}\mathrm{x})\right)$$

 

dove

 

$${\mathrm{a}}_0=\frac{⟨\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{,}1⟩}{⟨\mathrm{1,}1⟩}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{dx}$$

 

$${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=\frac{⟨\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{,}\cos (\mathrm{n}\mathrm{x})⟩}{⟨\cos (\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{,}\cos (\mathrm{n}\mathrm{x})⟩}=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x})\cos (\mathrm{nx})\mathrm{dx}$$

 

$${\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}=\frac{⟨\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{,}\mathrm{sen}(\mathrm{n}\mathrm{x})⟩}{⟨\mathrm{sen}(\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{,}\mathrm{sen}(\mathrm{n}\mathrm{x})⟩}=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{sen}(\mathrm{nx})\mathrm{dx}$$

 

Esiste anche una base ortonormale più "complessa", ma altrettanto valida (in alcuni casi molto più utile):

 

$${\left\{\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}}$$

 

per la quale la serie di Fourier diventa

 

$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sum _{\mathrm{n}=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$$

 

con

 

$${\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}=\frac{⟨\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{,}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}⟩}{⟨{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}\mathrm{,}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}⟩}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{+\pi }{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$

 

Tanto per far vedere come cambiano le formule se ci riferiamo ad un intervallo $[0\mathrm{;}\mathrm{T}]$

 

$$\mathrm{f}(\mathrm{x})={\mathrm{a}}_0+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}\left({\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\cos \left(\mathrm{n}\frac{2\pi }{\mathrm{T}}\mathrm{x}\right)+{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}\mathrm{sen}\left(\mathrm{n}\frac{2\pi }{\mathrm{T}}\mathrm{x}\right)\right)$$

 

$${\mathrm{a}}_0=\frac{1}{\mathrm{T}}\underset{0}{\overset{\mathrm{T}}{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{dx}$$

 

$${\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{\mathrm{T}}\underset{0}{\overset{\mathrm{T}}{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x})\cos (\mathrm{n}\frac{2\pi }{\mathrm{T}}\mathrm{x})\mathrm{dx}$$

 

$${\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{\mathrm{T}}\underset{0}{\overset{\mathrm{T}}{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{sen}(\mathrm{n}\frac{2\pi }{\mathrm{T}}\mathrm{x})\mathrm{dx}$$

 

La serie di Fourier si può applicare altrettanto bene a segnali periodici, che si ripetono con regolarità nel tempo. Basta limitarsi a considerare un singolo periodo.

 

Trasformata di Fourier

Se ci si vuole svincolare dal limite posto dal considerare segnali definiti in un intervallo limitato, è possibile generalizzare l'analisi togliendo il vincolo della limitatezza nel tempo al prezzo di una "leggera" complicazione matematica.

Si passa dalla serie all'integrale guadagnando una potenza di analisi notevole.

Si arriva alla trasformata di Fourier:

 

$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{a}}_{\lambda }\cos (\lambda \mathrm{x})+{\mathrm{b}}_{\lambda }\mathrm{sen}(\lambda \mathrm{x})\mathrm{d}\lambda$$

 

dove

 

$${\mathrm{a}}_{\lambda }=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{t})\cos (\lambda \mathrm{t})\mathrm{dt}$$

 

$${\mathrm{b}}_{\lambda }=\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{t})\mathrm{sen}(\lambda \mathrm{t})\mathrm{dt}$$

 

Nel caso della trasformata la forma più comune è la seguente:

 

$$\widehat{\mathrm{f}}(\omega )=\mathrm{F}(\mathrm{f})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{f}(\mathrm{t}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}\mathrm{dt}$$

 

Quale vantaggio abbiamo nell'usare la trasformata? Con la trasformata possiamo non solo studiare i singoli segnali, ma anche il comportamento dei sistemi sottoposti a questi segnali.

Con la trasformata lo studio si semplifica notevolmente nel cosiddetto dominio della frequenza.

Possiamo descrivere il comportamento di un sistema sotto forma di risposta ad un particolare segnale impulsivo (grazie alla linearità).

Da questa risposta impulsiva potremmo determinare la risposta del sistema ad un qualsiasi segnale mediante l'operazione di convoluzione:

 

$$\mathrm{h}=\mathrm{f}\ast \mathrm{g}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{f}(\tau )\mathrm{g}(\mathrm{t}-\tau )\mathrm{d}\tau$$

 

Tuttavia se passiamo alle trasformate di Fourier tutto si semplifica notevolmente:

 

$$\mathrm{F}(\mathrm{h})=\mathrm{F}(\mathrm{f}\ast \mathrm{g})=\mathrm{F}(\mathrm{f})\cdot \mathrm{F}(\mathrm{g})$$

 

Diventa quasi banale.

Una volta terminato lo studio delle trasformate basta risalire ai segnali nel dominio del tempo tramite antitrasformazione di Fourier

 

$$\mathrm{f}(\mathrm{t})={\mathrm{F}}^{-1}(\widehat{\mathrm{f}})=\frac{1}{2\pi }\mathrm{v}\mathrm{.}\mathrm{p}\mathrm{.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\widehat{\mathrm{f}}(\omega ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}\mathrm{d}\omega$$

 

Trasformata discreta di Fourier

La serie di Fourier ci permette di eseguire la cosiddetta analisi spettrale dei segnali. Cioè ci permette di conoscere le componenti armoniche presenti nel segnale analizzato.

In parole povere possiamo capire quali sinusoidi sono presenti.

Ovviamente gli strumenti di calcolo sono computazionalmente limitati e non si possono considerare somme infinite. Limitandoci a considerare un numero limitato di termini della serie abbiamo comunque di norma una buona approssimazione del segnale.

 

Un altro limite concreto è la disponibilità dei segnali solo in determinati istanti temporali, ottenuti mediante campionamento.

Nella pratica quindi si ricorre alla trasformata discreta di Fourier (implementata nella trasformata rapida di Fourier FFT)

Se T è il periodo di campionamento, abbiamo:

$${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\mathrm{f}(\mathrm{kT})$$

 

Trasformata finita di Fourier

 

$${\mathrm{F}}_{\mathrm{f}}(\{{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}\})=\{{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}\}=\frac{1}{\mathrm{N}}\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{N}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{N}}}$$

 

Trasformata inversa

 

$${\mathrm{x}}_{\mathrm{k}}=\sum _{\mathrm{m}=1}^{\mathrm{N}}{\mathrm{A}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{N}}}$$